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π t
2 ω tt
2
π
22 1
1
11
…E
…E
……EE
m
m
mm
1 T
a = f （t）dt = 0
0
0 ∫ 00
T 0
…………………………………………………………Page 323……………………………………………………………
f（t）
f（t）
ff（（tt））
E
E
EE
m
m
mm T
T
T t
TT t
tt
2
O
O
OO t
π t
2 ω tt
2
π
22 1
1
11
…E
…E
……EE
m
m
mm
1 2π
a = f （t） cos（kωt）d（ωt）
k ∫ 1 1
π 0
1 π 2π
= ＇ E cos（ kω t）d（ω t） E cos（ kω t）d（ω t）＇
∫ m 1 1 ∫ m 1 1
π 0 π
2E π
= m cos（ kω t）d（ω t）
∫ 1 1
π 0
=0
=0
==00
…………………………………………………………Page 324……………………………………………………………
1 2π
b = f （t） sin（kωt）d（ωt）
k ∫ 1 1
π 0
1 π 2π
= ＇ E sin（ kωt）d（ω t） E sin（ kω t）d（ω t）＇
∫ m 1 1 ∫ m 1 1
π 0 π
π
2E π 2E 1
= m sin（kω t）d（ωt） = m cos（ kωt）
∫ 1 1 1
π 0 π k 0
2E
= m ＇1 …cos（kπ）＇
kπ
k
k
当 为奇数时：
k kk
k
当kk为偶数时：
cos k
cos k
（ π）=0
（ ）=0
ccooss kk
cos k （（ ））==00
cos k
（ π）=1
（ ）=1
ccooss kk
（（ ））==11
b 4E
b =0
bb =0
==00 m
k
k
kk b =
k
kπ
…………………………………………………………Page 325……………………………………………………………
由此求得
4Em 1 1
f （t） = sin（ω t） ＋ sin（ 3ω t） ＋ sin（ 5ω t） ＋···
π 1 3 1 5 1
f（t）
f（t）
ff（（tt））
E
E
EE
m
m
mm
O
O
OO
t
ω t
tt
1
1
11
…E
…E
……EE
m
m
mm
…………………………………………………………Page 326……………………………………………………………
11
取到11次谐波时合成的曲线
1111
f（t）
f（t）
ff（（tt））
E
E
EE
m
m
mm
O
O
OO
t
ω t
tt
1
1
11
…E
…E
……EE
m
m
mm
比较两个图可见，谐波项数取得越多，合成
曲线就越接近于原来的波形。
…………………………………………………………Page 327……………………………………………………………
f（t）
f（t）
ff（（tt））
T
E 0 ≤ t ≤
E
EE
m
m
E mm
E
EE
m
m
mm T 2
f（t）
f（t）
=
=
ff（（tt））
==
T
T t
TT t
2 tt T
…E
…E
……EE ≤ t ≤T
m
m
O mm
O
OO t
π ω t
2 tt
2
22π 1
1
11 2
…E
…E
……EE
m
m
mm
4Em 1 1
f （t） = sin（ω t） ＋ sin（ 3ω t） ＋ sin（ 5ω t） ＋···
π 1 3 1 5 1
E 4 1 1 1
E =1
令EE =1，
==11
m
m
mm 1 = 1 ＋ ＋···
t= /2 π 3 5 7
ω t=π/2
1tt== //22
1
11
1 1 1
π = 4 1 ＋ ＋···
3 5 7
…………………………………………………………Page 328……………………………………………………………
f（t）
f（t）
矩形信号 的频谱
ff（（tt））
4Em 1 1